Come promesso, arrivano i parameci.

Post di quasi-semi-matematica buttato giù alla carlona. Chiedo venia agli spiriti sensibili di passaggio, e ricordo loro che qui ci sono 35°C all'ombra, una tesi da scrivere e pochissimo tempo. Allora, eravamo rimasti che ogni gioco finito (cioé: in cui ci sono un numero finito di giocatori, ciascuno con un numero finito di possibili mosse) in forma normale (cioé, ce la si gioca in una botta e tutti insieme[1] - pensate a testa e croce, non agli scacchi) ha almeno un equilibrio di Nash in strategie miste. E qui, il problema: che equilibrio è, in strategie miste? Un equilibrio in cui vai "20% a destra, 70% a sinistra, 10% annulli la scheda con un Grazie Liverpool"? Un po' schizofrenico. Ma d'altra parte: vogliamo mica buttar via quella bella costruzione? Che c'ha pure una soluzione garantita, vuoi mettere? (Certi matematici venderebbero la mamma per un teorema di esistenza e unicità della soluzione.) Ma ecco qui una possibile interpretazione della strategia. Non è l'unica. Ma qui vi sto raccontando la pupattola di questa semimatematica, non tutta la TdG - mica la so, tutta la TdG. Allora. Prendiamo un giocatore, con le sue belle strategie. Bene, non è più un solo giocatore: è una popolazione di giocatori[2], ciascuno dei quali ha a disposizione le strategie del giocatore di partenza. (Pirandelliano, eh?) Allora, ci sono una popolazione di giocatori "tipo 1", una popolazione "tipo 2"... una popolazione "tipo n". Ciascun "giocatorino" di queste popolazioni (chiamiamo la popolazione "i") è programmato alla nascita per giocare una tra m(i) possibili mosse (che poi erano le strategie pure di partenza). Le percentuali che descrivono la strategia mista sono interpretate come le percentuali della popolazione che seguono le diverse strategie pure: ad esempio, la strategia mista "20 - 70 - 10" di cui sopra sarà la situazione in cui 20% della popolazione di giocatori va a destra, 70% va a sinistra, e 10% è grato alla città dei Beatles. Prendete una situazione di partenza in cui tutte le strategie sono rappresentate (altrimenti potevate fare a meno di non prendere in considerazione quella strategia dall'inizio), e fate scontrare i giocatorini a n-uple - prese a caso, sì. Al termine del round, ciascun giocatorino "i" che si è scontrato in una situazione descritta dal profilo di strategie "s" avrà il suo bel payoff u_i(s): interpretatelo come "il giocatorino diventa altri u_i(s) giocatorini". Giocate di nuovo, e di nuovo, e di nuovo...[3] Arriverete così a un equilibrio - ehi, il gioco resta quello di partenza, quindi vale sempre il terorema di Nash, la storia dei giocatorini era un'interpretazione! Bene, i parameci? Beh, non vi pare che l'equilibrio interpretato con "giocatorini" è equilibrio da parameci per cui il massimo nella vita è avere tanti paramecini come loro? (Ma come si dà che in natura non si è raggiunto l'equilibrio? Beh, innanzitutto non c'è un solo equilibrio possibile - avrei dovuto dirvelo, ma i parameci mi hanno chiamato: rimedierò alla prossima. E poi ci sono mutazioni casuali - che pure si possono mettere in conto: ma degli X-Men parleremo più in là.) [1] Rileggendo, mi accorgo che può suonare pornografica. Considerato che tutta la mia formalità se la prende la pupattola; considerato che uno degli esempi-base della TdG è detto "battaglia dei sessi", lascio la frase come sta. [2] Dettaglio tecnico: la popolazione si suppone continua, o altrimenti, per usare termini tecnici, son casini: possono saltare fuori soluzioni fortemente dominate. [3] Come sopra: aleph-con-uno, o son casini. Disclaimer: le mie conoscenze di analisi numerica sono, ahimé, nulle.