sabato, aprile 16, 2005

Giusto per chiarire.

'sa l'è 'sto 'quilibriodinésc, che io vado avanti a citarlo impunemente. Segue spiegazione né carne né pesce, sarà che vado matta per le uova (ahahaha). Se avete dubbi, i commenti stanno lì apposta. Se avete correzioni, prego. Ci sono due o più (chiamiamo questo numero n) esseri, detti giocatori, che hanno ciascuno due o più possibili mosse, dette strategie pure. Ogni "profilo di strategie" (la strategia del primo, la strategia del secondo... la strategia dell'n-esimo giocatore) darà a ciascun giocatore qualcosa, detto payoff. Ciascun giocatore vuole massimizzare il proprio payoff, ché non è masochista. (Nota storica: questo l'hanno inventato John von Neumann e Oskar Morgenstern, mica gli ultimi pirlètta.) Problema: se ci si ferma qui, non sempre c'è un punto di equilibrio - in soldoni, non si sa predire dove va a finire il gioco. Non fossimo tra matematici, si farebbero un po' di esperimenti sul campo. Che si fanno, eh. E sono deliziosi. E viva quelli che fanno esperimenti. E tutto questo genere di cose. Ma nel 1949 arriva un ventiqualcosenne, tale John Forbes Nash, jr., che c'ha da scrivere una tesi di dottorato. Il signor Nash è un matematico (anche von Neumann era un matematico, oltre a molte altre cose e geniale in quasi tutte; Morgenstern era un economista, invece). Dicevamo: Nash è un matematico. Quindi, per risolvere un problema, se ne fa uno più grande. (Questo potrebbe portare a dire che la matematica è una disciplina in cui le femmine possono naturalmente eccellere, ma noi non arriveremo a tanto.) Nash non considera più le strategie pure del giocatore "i" di cui sopra. Considera le (mo' vi spiego, leggete e non spaventatevi) distribuzioni di probabilità sulle strategie del giocatore "i". Ora buoni, vi ho detto che vi spiego. Anzi, faccio un esempio: diciamo che fate "pari e dispari" con un'amica. Prima potevate scegliere se puntare su "pari" o "dispari" (strategie pure), ora potete scegliere anche di puntare su "30% pari, 70% dispari", "50% pari, 50% dispari", e in generale tutto quello che ci sta tra "100% pari, 0% dispari" e "0% pari, 100% dispari": che poi sono la "pari" pura e la "dispari" pura, che si riducono a caso particolare. Il caso per più di due strategie è uguale-uguale, solo che ci saranno più di due percentuali per ogni combinazione (la percentuale "0%" è sempre una percentuale!). E il payoff? (Se ve lo siete chiesti da voi, bravi.) Facciamo che se il payoff di i per il profilo di strategie s era u(s) e il payoff di i per il profilo t era u(t), il payoff (che però ora si chiama utilità) di i per 30%s+70%t è 30%u(s)+70%u(t); e in generale data una sistribuzione di probabilità (p,q) il payoff di ps+qt è u(ps+qt)=pu(s)+qu(t). Certo, questo vuol dire che è lo stesso avere 1000€ di sicuro o 2000€ se viene testa e nulla se viene croce: ma la linearità è tanto elegante è tanto, tanto comoda. E ora: l'equilibrio di Nash. Il signor Nash dimostra che: se si hanno un numero finito di giocatori, ciascuno con un numero finito di strategie, c'è sempre un profilo misto in cui nessun giocatore aumenta la propria utilità cambiando la propria strategia. Quindi, per l'assunzione di non-masochismo di cui sopra non la cambia. Quindi il gioco si ferma lì. Quel "lì" lo chiamiamo "equilibrio di Nash". (Lacrimuccia. Scusate. Glomp. Aaahh, sospiro.) (Mi ricompongo.) Come questo possa essere al dunque bastardo (pardon my French), come si dimostri tanta beltà, cosa c'entrano i parameci e il dottor Strangelove, un'altra volta - se vi va.

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Comments:
mi va. procedi coi parameci.
 
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